静电场的静电屏蔽和唯一性定理

  现在我们来讨论一下由带电导体所产生的电场问题。由若干带电导体组成一个带电系统，这个带电系统在空间中产生一个静电场，如果每个带电导体上的面电荷分布(由面电荷密度表示)已经知道，通过第1章中我们已经讨论过的求面电荷的电场的方法，原则上可以由求曲面积分把这个电场唯一地确定出来，但是我们前面已经讲过，导体上的面电荷分布与很多因素有关，比如说与导体的形状，大小、各个导体之间的相对位置等都有关，面电荷分布一般是难以预先确定的，因而也无法从电荷的分布来确定带电导体的电场。

  然而从另外一个方面来看，无需预先确定导体上的电荷分布，只要通过改变带电导体的形状、大小、导体之间的相对位置以及调整和控制各导体的电势或各导体上的总电量，就可以得出我们所要求的各种空间电场，这里自然产生这样一个回题除了由电荷分布能够唯一地确定电场外，从静电场遵守的普遍性质——高斯定理和环路定理出发，通过给定各个导体的形状、大小、导体之间的相对位置、各个导体的电势或电量以及包围电场空间的边界面上的电势后，能否保证由带电导体组成的带电系统的电场有唯一确定的解存在呢这个问题实际上涉及两个方面一是符合两条定理且满足给定各个导体的形状、大小、导体间的相对位置、各个导体的电势或电量以及包围电场空间的边界面上的电势条件(这些条件在电磁学中称为边界条件)的静电场的解是否存在，即满足边界条件的静电场解的存在性问题二是如果静电场解存在，它是否唯一，即解的唯一性问题。第一个问题实际上是与已知边界条件求静电场解的问题密切相关的，求边界条件下的静电场解的问题是电动力学中静电学的典型问题，并称为静电场的边值问题。由于这个问题的讨论涉及太多数学问题，同时也超出了普通物理电磁学部分的内容，我们不作进一步讨论了关。于第二个问题，即解的唯一性问题，对本书中的许多问题的理解都有很大关系，我们将尽量避开复杂的数学问题来进行简要的讨论。

  关于在边界条件下解的唯一性问题，在电磁学中称为唯一性定理。在由带电导体组成的电荷系统产生的静电场中，唯一性定理可以简述如下：当给定电场的边界条件，即给定包围电场空间的边界面S(这个界面可以是距带电系统无限远的闭合曲面，也可以是导体壳的内表面)上的电势Us，给定S面内各导体的形状、大小及各导体之间的相对位置，同时再给定下列两条件之一∶

  (1)S面内每个导体的电势Ui;

  (2)S面内每个导体上的总电量qi。

  其中i=1，2，…为导体的编号，则在以S为边界面的电场空间内满足高斯定理和环路定理的静电场解是唯一的。

  下面我们来证明上述唯一性定理。

  在对唯一性定理进行正式证明之前，我们先证明一个重要结论：在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值。