三明治绕法的漏感与耦合系数

1 三明治绕法漏感与耦合
1.1普通绕法的漏感
普通的变压器结构由初、次级线圈构成，其卷线结构及电气结构如图1、图2示。
变压器初级线圈的漏感：
(1)
其中k12是线圈L1与L2的耦合系数。一般情况下采用该绕法的变压器具有较大的漏感，为降低漏感，通常采用三明治绕法。
1.2 三明治绕法的漏感
三明治绕法是将两个次级（或初级）线圈并联夹住初级（或次级）线圈的卷线方式，其卷线结构图以及电气结构图如图3、图4示。
如图4示，将次级短路后应用欧姆定律建立方程组：
jωL1i1-jωM21i2-jωM31i3=μ (2)
jωM12i1-jωL2i2-jωM32i3=0 (3)
jωM13i1-jωM23i2-jωL3i3=0 4)
解方程组(2)、(3)、(4)（过程略）得：
(5)
式(5)即为三明治绕法初级线圈的漏感，其中k12、k13、k23分别为线圈L1与L2、线圈L1与L3、线圈L2与L3的耦合系数。
上文分别给出了普通绕法与三明治绕法的漏感表达式，下文将据此证明三明治绕法较普通绕法有更低的漏感。
1.3 推论: LLsw≤{LL12,LL13}min
证明：
先证明
LLsw≤LL12 (6)
将式(1)、式(5)代入式(6)，利用反推法证之。
LLsw≤LL12

即LLsw≤LL12成立。
因下标2与3完全对等，亦必有LLsw≤LL13成立。
综上，LLsw≤{LL12, LL13}min。
即三明治绕法较普通绕法有更低的漏感。证毕。
[例] L1=1000μH，L2=600μH，L3=610μH；k12=0.995，k13=0.994，k23=0.98，求LL12、LL13 、LLsw。
解：将以上参数分别代入式(1)、(5)，得：
LL12=(1-0.9952)×1000μH=9.975μH
LL13=(1-0.9942)×1000μH=11.964μH

2 几何描述
为直观描述三明治绕法的漏感，可据式 (5)引入几何模型。如图5示，由O点在空间内分别引出三条射线OP1、OP2、OP3，射线两两夹角依次为α12、α13、α23，并令其满足如下关系：
；cosα12=k12；cosα13=k13；cosα23=k23 (7)
由点P1向平面OP2P3引辅助垂线O'P1，并由点O'分别向射线OP2，OP3引辅助垂线O'P2，O'P3。即：O'P1⊥平面OP2P3，O'P2⊥OP2，O'P3⊥OP3。
对三角形ΔOP2P3应用余弦定理：
(OP2)2 (OP3)2-2(OP2)(OP3)cosα23=(P2P3)2 (8)
对三角形ΔOP2P3应用正弦定理：
(9)（其中，R为ΔOP2P3外接圆的半径）
将式(9)代入式(8)，对照图5空间几何关系简化并变形得：

将式(7)代入上式得：
(10)
对比式(5)得：
(11)
由式(1) 、式(7)并对照图5空间几何关系，得：

即：
(12)
同理，
即：
(13)
对比漏感LL12、LL13、LLsw的大小，即转化为对比线段P1P2、P1P3、O'P1的长度。由空间几何关系：连接平面外一点到平面内一点的线段中，该点到平面的垂线段最短，即：O'P1≤{ P1P2, P1P3}min。
亦即本文推论，三明治绕法较普通绕法有更低的漏感：LLsw≤{LL12, LL13}min。
讨论：
两两电感间的耦合系数k12，k13，k23并非相互独立的参数，其相互制约关系可以由图5射线OP1、OP2、OP3的空间位置关系完全描述。
尽管三明治绕法降低了初级线圈的漏感，但由于L2、L3并联产生的内部环流导致初级线圈的等效电感下降，因此在理论上并不意味着三明治绕法一定能够改善初、次级间的耦合关系。
当次级线圈L2、L3采用串联方式时，初级与次级的耦合关系以及初级对次级的漏感如图6示。
3 小结
本文简要分析了三明治绕法改善漏感的原理并借助等价几何模型直观描述了漏感大小以及耦合关系，可以对变压器设计者加深对三明治绕法的理解提供帮助。